如图.在直角梯形ABCD中.AB∥CD.∠ABC=90°.对角线AC.BD交于点G.已知AB=BC=3.tan∠BDC=$\frac{1}{2}$.点E是射线BC上任意一点.过点B作BF⊥DE.垂足为点F.交射线AC于点M.射线DC于点H．(1)当点F是线段BH中点时.求线段CH的长,(2)当点E在线段BC上时.设BE=x.CM=y.求y关于x的函数解析式.并指出x的取值范围,(3)连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=$\frac{1}{2}$，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．
（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；
（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．

分析（1））根据题意可先求出CD=6，根据BF⊥DE和F为线段BH中点的条件，由等腰三角形三线合一的性质得到△BHD为等腰三角形，从而求出BD=HD=3$\sqrt{5}$，再求CH=3$\sqrt{5}$-6；
（2）设BE=x，CM=y，要求y关于x的函数解析式，先利用AB∥CH，得到成比例线段$\frac{CH}{AB}$=$\frac{CM}{AM}$，得到$\frac{CH}{3}$=$\frac{y}{y+3\sqrt{2}}$，再根据△BCH∽△DCE，得到$\frac{CH}{CE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{3}{6}$，则可以用含x的式子表示CH=$\frac{3-x}{2}$，代入$\frac{CH}{3}$=$\frac{y}{y+3\sqrt{2}}$ 中，整理化简可得y=$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{2}x}{3+x}$（根据点E在线段BC上，则可得到0＜x＜3）
（3）①如下图2，当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，根据平行线等分线段定理得到$\frac{BG}{GD}$=$\frac{BF}{FH}$=$\frac{1}{2}$，根据题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得BF=$\frac{1}{3}$BH=$\frac{1}{6}$DE，再根据△BFE∽△DCE的相似比$\frac{BF}{DC}$=$\frac{BE}{DE}$得到$\frac{\frac{1}{6}DE}{6}$=$\frac{x}{DE}$，解方程即可得x=21-6$\sqrt{11}$ （根据x=21+6$\sqrt{11}$＞3，舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF∥BE，设GF与CD交点为K，先根据①中条件可求出GK=2，DK=4，设KF=a，则可得$\frac{a}{3}$=$\frac{KH}{HC}$=$\frac{KH}{2-KH}$，分别用含a的式子表示KH=$\frac{2a}{3+a}$，HC=$\frac{6}{3+a}$，再利用tan∠KDF=tan∠CBH作为等量关系列方程$\frac{a}{4}$=$\frac{\frac{6}{3+a}}{3}$可解得a=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$（a=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$＜0故舍去）易求出CE=$\frac{3}{2}$a=$\frac{-9+3\sqrt{41}}{4}$从而求出BE=CE+3=$\frac{3+3\sqrt{41}}{4}$，再综合①②可知x的值为21-6$\sqrt{11}$ 或$\frac{3+3\sqrt{41}}{4}$．

解答解：（1）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°
∴∠DCB=90°
∵AB=BC=3，tan∠BDC=$\frac{1}{2}$
∴CD=6
∵BF⊥DE
∴当F为线段BH中点时，△BHD为等腰三角形，
∴BD=HD=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
CH=DH-DC=3$\sqrt{5}$-6
（2）∵AB∥CH，
∴$\frac{CH}{AB}$=$\frac{CM}{AM}$
又∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CH}{3}$=$\frac{y}{y+3\sqrt{2}}$
在△BCH与△DCE中，
∠BCH=∠DCE=90°，∠HBC=∠EDC=90°-∠DHB，
∴△BCH∽△DCE，
∴$\frac{CH}{CE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{3}{6}$，则CH=$\frac{3-x}{2}$，
∴$\frac{\frac{3-x}{2}}{3}$=$\frac{y}{y+3\sqrt{2}}$，化简整理得：y=$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{2}x}{3+x}$（0＜x＜3）；

（3）①（图2）

当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，$\frac{BG}{GD}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$
此时$\frac{BG}{GD}$=$\frac{BF}{FH}$=$\frac{1}{2}$
∵△BCH∽△DCE
∴$\frac{BH}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$
∴BF=$\frac{1}{3}$BH=$\frac{1}{6}$DE
∴△BFE∽△DCE
∴$\frac{BF}{DC}$=$\frac{BE}{DE}$
∴$\frac{\frac{1}{6}DE}{6}$=$\frac{x}{DE}$
∴DE²=36x=（3-x）²+6²，
解得x=21-6$\sqrt{11}$ （x=21+6$\sqrt{11}$＞3，故舍去）

②当E在射线BC上时（图3），

GF⊥DC即GF∥BE，设GF与CD交点为K，由①可知
$\frac{GK}{BC}$=$\frac{DG}{BD}$=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{2}{3}$，则GK=$\frac{2}{3}$×3=2，DK=4
设KF=a，则$\frac{a}{3}$=$\frac{KH}{HC}$=$\frac{KH}{2-KH}$，
∴KH=$\frac{2a}{3+a}$，HC=$\frac{6}{3+a}$，
∵∠BCD=∠DKF=90°
∴∠KDF=∠CBH
∴tan∠KDF=tan∠CBH
∴$\frac{a}{4}$=$\frac{\frac{6}{3+a}}{3}$
解得a=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$（a=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$＜0故舍去）
∵$\frac{KF}{CE}$=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{2}{3}$
∴CE=$\frac{3}{2}$a=$\frac{-9+3\sqrt{41}}{4}$，BE=CE+3=$\frac{3+3\sqrt{41}}{4}$
综上可知：x的值为21-6$\sqrt{11}$ 或$\frac{3+3\sqrt{41}}{4}$

点评本题主要考查了平行线等分线段定理的应用和相似三角形的相似比作为等量关系列方程解方程的方法．（1）中根据条件判断出△BHD为等腰三角形是解题的关键；（2）中则主要是利用了相似三角形和平行线等分线段定理中的成比例线段作为等量关系，得到x与y之间的等量关系，整理即可得到y关于x的函数关系式；（3）中主要是根据线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时的两种情况分类讨论，GF⊥BC和GF⊥DC时分别都有对应的相似三角形，根据相似三角形中的成比例线段作为等量关系列方程解方程即可．