Question

如图，平面直角坐标系中，⊙0₁过原点O，且⊙0₁与⊙0₂相外切，圆心O₁与O₂在x轴正半轴上，⊙O₁的半径O_lP_l、⊙0₂的半径O₂P₂都与x轴垂直，且点P_l、P₂在反比例函数y=

4

x

的图象上，则△OP_lP₂的面积为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：根据⊙0₁过原点O，且⊙0₁与⊙0₂相外切，圆心O₁与O₂在x轴正半轴上，得到O₁O=O₁P₁，再由⊙O₁的半径O₁P₁与x轴垂直，点P₁（x₁，y₁）在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），确定出x₁与y₁的值，以及OO₂与EO₂的值，表示出P₂坐标，代入反比例解析式求出y₂的值，三角形OP₁P₂面积=三角形OP₁O₁面积+梯形P₁P₂O₂O-三角形OP₂O₂面积，求出即可．

解答：解：∵⊙O₁过原点O，⊙O₁的半径O₁P₁，
∴O₁O=O₁P₁，
∵⊙O₁的半径O₁P₁与x轴垂直，点P₁（x₁，y₁）在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，
设点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
∴x₁=y₁，x₁y₁=4，
∴x₁=y₁=2，
∵⊙O₁与⊙O₂相外切，⊙O₂的半径O₂P₂与x轴垂直，
∴EO₂=O₂P₂=y₂，OO₂=4+y₂，
∴P₂点的坐标为：（4+y₂，y₂），
∵点P₂在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，
∴（4+y₂）•y₂=4，
解得：y₂=-2+2

2

或y₂=-2-2

2

（舍去），
∴S_△OP1P2=S_△OO1P1+S_{梯形P1P2O2O1}-S_△OO2P2=

1

2

×2²+

1

2

×（-2+2

2

+2）×（2-2+2

2

）-

1

2

×（4-2+2

2

）×（-2+2

2

）=6-2=4．
故选B

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：直线与圆相切的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．