Question

14．三正多边形的中心、半径、中心角、弦心距、边长之间的关系如图：请指出圆内接正六边形的中心、半径、中心角、弦心距．若设半径为R、弦心距为r，边长为a，则R、r、a之间有怎么的数量关系？周长、面积？

Answer 1

分析 经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是P，则在直角△OPC中，∠BOC=$\frac{180°}{n}$，弦心距为r，OB即半径R．BC=2PC=a．根据三角函数即可求解．

解答 解：圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形，这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，
等边三角形的高与正六边形的边心距相等，
等边三角形的高是它的边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，
所以a：R：r=2：2：$\sqrt{3}$．
正六边形的边长为：6a，
正六边形的面积为：6×$\frac{1}{2}$×ra=3ar．

点评 本题考查了圆内接正六边形的边长，半径，边心距的关系，正确掌握正六边形的性质是解题关键．