Question

8．如图，等边三角形OAB的边长为8，点P沿O→A→B→O的方向运动，⊙P的半径是$\sqrt{3}$，⊙P运动一圈与△ABC的边相切几次，其中与边AB相切时，点P的坐标为（6，0），（3，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 当点P在OB上且与边AB相切时，如图，作PH⊥AB于H，则PH=$\sqrt{3}$，根据等边三角形的性质得到∠A=60°，解直角三角形得到AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PH=1，AP=2AH=2，于是得到结论．

解答 解：当点P在OB上且与边AB相切时，如图，
作PH⊥AB于H，则PH=$\sqrt{3}$，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△APH中，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PH=1，
AP=2AH=2，
∴OP=6，
∴P（6，0）；
∴点P在AO，AP=2时，⊙P与边AB相切，
同理可得点P在OA，OP=2时，⊙P与边BO相切；
点P在OB，BP=2时，⊙P与边OA相切，
点P在OB，BP=2时，⊙P与边AB相切，
则P（3，3$\sqrt{3}$）
点P在AB，BP=2时，⊙P与边BO相切，
点P在AB，AP=2时，⊙P与边OA相切，
综上所述，⊙P运动一圈与△OBC的边相切6次，
故答案为：P（6，0），（3，3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了等边三角形的性质．