Question

13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCE是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）依据切线的性质可知OC⊥DC，然后可证明AD∥OC，依据平行线的性质可得到∠DAC=∠ACO，然后依据OA=OC可证明∠OAC=∠ACO，通过等量代换可证明AC平分∠DAB；
（2）依据直径所对的圆周角等于90°可证明∠ACB=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，从而得到∠CAE=∠BCP，然后结合∠ACE=∠ECB可证明∠PCE=∠PEC．

解答 解：（1）如图1所示：连接OC．

∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB． 

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，
∴∠PEC=∠PCE，
∴PC=PE，
即△PCE是等腰三角形．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握有关切线问题的辅助线的作法是解题的关键．