Question

已知等腰Rt△ABC中，AB=AC，点A、C分别在y轴和x轴上．
（1）如图1，若OA=2，求点B的横坐标；
（2）如图2，AB交x轴于N，若x轴恰好平分∠ACB，CN=6，求点B的纵坐标；
（3）如图3，过A作AE⊥AC，且AE=AC，过D作AD⊥OA，且AD=OA，DE交y轴于F，若A（0，2），C（4，0），求S_△AED．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作BD⊥AO，易求∠ACO=∠BAD，可证△AOC≌△BDA，根据全等三角形对应边相等即可解题；
（2）作BD⊥AO，易证△AOC≌△BDA，再根据平行线性质可得

ON

BD

=

AO

AD

，即可求得点B的纵坐标；
（3）根据点D坐标可以求得直线AC、AE解析式，根据AE=AC可求得点E坐标，根据直线DE过D、E点可求得直线DE解析式，即可求得F的坐标，即可解题．

解答：解：（1）作BD⊥AO，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ACO+∠CAD=90°，
∴∠ACO=∠BAD，
在△AOC和△BDA中，

∠ADB=∠AOC ∠BAD=∠ACO AC=AB

，
∴△AOC≌△BDA（AAS），
∴BD=OA=2，
∴B点横坐标为-2；
（2）作BD⊥AO，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ACO+∠CAD=90°，
∴∠ACO=∠BAD，
在△AOC和△BDA中，

∠ADB=∠AOC ∠BAD=∠ACO AC=AB

，
∴△AOC≌△BDA（AAS），
∴BD=OA=2，AD=CO，
∵ON∥DB，∴

ON

BD

=

AO

AD

，
设ON=x，则AD=CO=6-x，
∴

x

2

=

2

6-x

，解得x=3+

5

或3-

5

，
∵ON＜BD，
∴AD=CO=3+

5

，
∴点B纵坐标为1+

5

．
（3）

点D坐标（-2，2），
直线AC解析式为y=-

1

2

x+2，
直线AE解析式为y=2x+2，
∵AE=AC，
设点E横坐标x，则纵坐标为2x+4
∴x²+（2x+2-2）²=2²+4²，解得x=2，2x+2=6．
∴点E坐标为（2，6），
∴直线DE解析式为y=x+4，
∵F点横坐标为0，
∴纵坐标为0+4=4，
∴F（0，4），
∴S_△AED=

1

2

AF（2+2）=8．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了一次函数在平面直角坐标系中运用，本题中求点F坐标是解题的关键．