Question

20．已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-5）-m²=0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）将方程变形为一般式，再根据根的判别式△=9+4m²≥9，即可证出结论；
（2）将x=1代入原方程求出m的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解．

解答 （1）证明：原方程可变形为x²-7x+10-m²=0，
∵△=（-7）²-4×（10-m²）=9+4m²≥9，
∴方程总有两个不等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是1，
∴m²=4，解得：m=±2，
∴原方程为：x²-7x+6=0，
解得：x₁=1，x₂=6．
即m的值为±2，方程的另一个根是6．

点评 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将x=1代入原方程求出m的值是解题的关键．