Question

13．用长为100cm的金属丝制成一个长方形，当长方形各边长取多少时，长方形的面积是500cm²？要使长方形的面积为625cm²，其各边长应取多少？这段金属丝能制成面积为800cm²的矩形吗？

Answer 1

分析 设矩形的长为xcm，则宽为（50-x）cm．
根据矩形的面积是500，可列出方程x（50-x）=500，再求出x即可；
根据矩形的面积是625，可列出方程x（50-x）=625，再求出x即可；
根据矩形的面积是800，可列出方程x（50-x）=800，把方程化为标准形式得x²-50x+800=0，然后说明因为△=（-50）²-4×1×800=-700＜0，所以原方程无解，不能制成面积是800cm²的矩形框子．

解答 解：设矩形的长为xcm，则宽为（50-x）cm．
根据题意，得
x（50-x）=500，
解得 x₁=25+5$\sqrt{5}$，x₂=25-5$\sqrt{5}$．
当长方形的长为（25+5$\sqrt{5}$）cm，宽为（25-5$\sqrt{5}$）cm时，长方形的面积是500cm²．
根据题意，得
x（50-x）=625，
（x-25）²=0，
x₁=x₂=25．
矩形的面积可以是625cm²，此时是一个边长为25的正方形．
根据题意，得
x（50-x）=800，
把方程化为标准形式，得
x²-50x+800=0，
△=（-50）²-4×1×800=-700＜0，
此方程无解．
所以不能制成面积是800cm²的矩形．

点评 本题考查了一元二次方程的应用．此题能够根据矩形的面积公式列方程，同时注意根据方程解的情况分析矩形的存在性．