Question

如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DM交AC于D，垂足为M．
（1）若∠CBD：∠CBA=4：7，求∠A；
（2）若CD=5，BC=12，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）先根据∠CBD：∠CBA=4：7可设∠CBD=4x，则∠ABD=3x，再由DM是线段AB的垂直平分线得出AD=BD，故∠A=∠ABD，根据直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BD的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD的长，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵∠CBD：∠CBA=4：7，
∴设∠CBD=4x，则∠ABD=3x．
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=3x，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠A=90°，即7x+3x=90°，解得x=（

9

10

）°，
∴∠A=3x=（

27

10

）°；

（2）∵CD=5，BC=12，
∴BD=

122+52

=13．
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=13，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×12×（12+5）=102．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．