Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，E、F在直线BC上，且BE=BC=CF，求证：AF⊥DE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证△ABF是等腰三角形，根据等边对等角以及平行线的性质可以证得AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线，然后根据平行线的性质即可证得．

解答：证明：∵BC=CF，即BF=2BC，
又∵AB=2BC，
∴AB=BF，
∴∠BAF=∠F，
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠F，
∴∠BAF=∠DAF=

1

2

∠BAD，
同理，∠ADE=∠EDC=

1

2

∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠GAD+∠GDA=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE．

点评：本题考查了平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质：等边对等角，证明AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线是关键．