题目内容

如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2
3
）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：
 
；
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当
3
6
＜s≤
3
2
时，确定点Q的横坐标的取值范围．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为
1
2
OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．
（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入
3
6
＜s≤
3
2
，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．
解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，2
3
），
∴OE=OA=2，OG=OC=2
3
，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，
∴GI=sin30°•GO=
1
2
•2
3
=
3
，
  IO=cos30°•GO=
3
2
•2
3
=3，
  JE=cos30°•OE=
3
2
•2=
3
，
  JO=sin30°•OE=
1
2
•2=1，
∴G（-
3
，3），E（
3
，1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
∴
3a-
3
b+c=3
3a+
3
b+c=1
0+0+c=0
，
解得
a=
2
3
b=-
3
3
c=0
，
∴y=
2
3
x2-
3
3
x．

（2）∵四边形OHMN为平行四边形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH=
1
2
•OF，
∴MN为△OGF的中位线，
∴xD=xN=
1
2
•xG=-
3
2
，
∴D（-
3
2
，0）．

（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（-
3
，3），E（
3
，1），
∴
-
3
k+b=3
3
k+b=1
，
解得
k=-
3
3
b=2
，
∴y=-
3
3
x+2．
∵Q在抛物线y=
2
3
x2-
3
3
x上，
∴设Q的坐标为（x，
2
3
x2-
3
3
x），
∵Q在R、E两点之间运动，
∴-
3
2
＜x＜
3
．
①当-
3
2
＜x＜0时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
3
3
x+2），
∵S△PKQ=
1
2
•（yK-yQ）•（xQ-xP），
  S△HKQ=
1
2
•（yK-yQ）•（xH-xQ），
∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=
1
2
•（yK-yQ）•（xQ-xP）+
1
2
•（yK-yQ）•（xH-xQ）
=
1
2
•（yK-yQ）•（xH-xP）=
1
2
•[-
3
3
x+2-（
2
3
x2-
3
3
x）]•[0-（-
3
2
）]=-
3
6
x2+
3
2
．
②当0≤x＜
3
时，
如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
3
3
x+2），
同理 S△PQH=S△PKQ-S△HKQ=
1
2
•（yK-yQ）•（xQ-xP）-
1
2
•（yK-yQ）•（xQ-xH）
=
1
2
•（yK-yQ）•（xH-xP）=-
3
6
x2+
3
2
．
综上所述，S△PQH=-
3
6
x2+
3
2
．
∵
3
6
＜s≤
3
2
，
∴
3
6
＜-
3
6
x2+
3
2
≤
3
2
，
解得-
2
＜x＜
2
，
∵-
3
2
＜x＜
3
，
∴-
3
2
＜x＜
2
．
点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．
练习册系列答案
相关题目
已知圆锥按如图放置，其主视图的面积为12，俯视图的周长为6π，则该圆锥的侧面积为
 
．
下列计算正确的是（　　）
A、（-2xy2）3=-8x3y6
B、a3+a3=a6
C、a4•a2=a8
D、（a3）2=a9
如图，△ABC经过怎样的变换得到△DEF．
如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0．
（1）求a，b的值；
（2）在y轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=
1
2
△ABC的面积，求点M的坐标．
计算：（-1）×（-3）+（-
3
）0-（8-2）
因式分解：
（1）a2-4b2
（2）x3y-6x2y2+9xy3．
将下列各式分解因式：
（1）2x2-12x+18；
（2）2x3-18x；
（3）x3y-x2y2-12xy3．
等腰三角形的周长为30cm．
（1）若底边长为xcm，腰长为ycm，写出y与x的关系式，并注明自变量的取值范围．
（2）若腰长为xcm，底边长为ycm，写出y与x的关系式，并注明自变量的取值范围．

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