题目内容
如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2| 3 |
（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当
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考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为
OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．
（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入
＜s≤
，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为
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（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入
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解答：
解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，2
），
∴OE=OA=2，OG=OC=2
，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，
∴GI=sin30°•GO=
•2
=
，
IO=cos30°•GO=
•2
=3，
JE=cos30°•OE=
•2=
，
JO=sin30°•OE=
•2=1，
∴G（-
，3），E（
，1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
∴
，
解得
，
∴y=
x2-
x．
（2）∵四边形OHMN为平行四边形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH=
•OF，
∴MN为△OGF的中位线，
∴xD=xN=
•xG=-
，
∴D（-
，0）．
（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（-
，3），E（
，1），
∴
，
解得
，
∴y=-
x+2．
∵Q在抛物线y=
x2-
x上，
∴设Q的坐标为（x，
x2-
x），
∵Q在R、E两点之间运动，
∴-
＜x＜
．
①当-
＜x＜0时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
x+2），
∵S△PKQ=
•（yK-yQ）•（xQ-xP），
S△HKQ=
•（yK-yQ）•（xH-xQ），
∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=
•（yK-yQ）•（xQ-xP）+
•（yK-yQ）•（xH-xQ）
=
•（yK-yQ）•（xH-xP）=
•[-
x+2-（
x2-
x）]•[0-（-
）]=-
x2+
．
②当0≤x＜
时，
如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
x+2），
同理 S△PQH=S△PKQ-S△HKQ=
•（yK-yQ）•（xQ-xP）-
•（yK-yQ）•（xQ-xH）
=
•（yK-yQ）•（xH-xP）=-
x2+
．
综上所述，S△PQH=-
x2+
．
∵
＜s≤
，
∴
＜-
x2+
≤
，
解得-
＜x＜
，
∵-
＜x＜
，
∴-
＜x＜
．
解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2
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∴OE=OA=2，OG=OC=2
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∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，
∴GI=sin30°•GO=
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IO=cos30°•GO=
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JE=cos30°•OE=
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JO=sin30°•OE=
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∴G（-
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设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
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解得
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∴y=
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（2）∵四边形OHMN为平行四边形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH=
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∴MN为△OGF的中位线，
∴xD=xN=
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∴D（-
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（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（-
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∴y=-
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∵Q在抛物线y=
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∴设Q的坐标为（x，
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∵Q在R、E两点之间运动，
∴-
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①当-
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如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
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∵S△PKQ=
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S△HKQ=
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∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=
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②当0≤x＜
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如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，-
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同理 S△PQH=S△PKQ-S△HKQ=
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综上所述，S△PQH=-
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点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．
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