Question

13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE=DE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）设⊙O的半径为5，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠AED=∠ABF=90°，即可解决问题．
（2）由∠BAD=∠BCD，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，推出cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，在Rt△ADB中，AB=10，AD=AB•cos∠BAD=10×$\frac{4}{5}$=8，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，再根据AB垂直平分线段CD，推出BC=BD，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵CE=DE，
∴AB⊥DC，
∴∠AED=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴CD∥BF．

（2）解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ADB中，∵AB=10，
∴AD=AB•cos∠BAD=10×$\frac{4}{5}$=8，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵AB垂直平分线段CD，
∴BC=BD=6．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、锐角三角函数、平行线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．