Question

5．函数y=$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$-$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$的最大值为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 原式可化为y=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$-$\sqrt{（x+2）^{2}+（0+2）^{2}}$，故本题可看作是在x轴上求一点C（x，0），使点C到点A（2，3）的距离与点C到点（-2，-2）距离的差最大，故可在坐标系内描出AB两点，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，求出C点坐标，再把x的值代入代数式即可得出y的值．

解答 解：原式可化为y=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$-$\sqrt{（x+2）^{2}+（0+2）^{2}}$，
如图所示，作出B点关于x轴的对称点B′（-2，2），连接AB′交x轴于点C，则AB′=AC-CB′为所要求的最大值，
设C点坐标为（x，0），过AB′两点的直线为y=kx+b（k≠0），
∵A（2，3），B′（-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2k+b=3\\-2k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{4}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
∵C（x，0），
∴$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{2}$=0，解得x=-10，
∴y=$\sqrt{{（-10-2）}^{2}+{（0-3）}^{2}}$-$\sqrt{{（-10+2）}^{2}+{（0+2）}^{2}}$=3$\sqrt{17}$-2$\sqrt{17}$=$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查的是无理函数的最值，此类问题应把求代数式的最小值转化为最短线路问题，利用数形结合解答．