Question

4．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=$\frac{1}{10}$x²-$\frac{4}{5}$x+3的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F₁的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F₂对应函数的二次项系数始终为$\frac{1}{4}$，设MN离AB的距离为m，抛物线F₂的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F₁的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F₂的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．

解答 解：（1）∵a=$\frac{1}{10}$＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=$\frac{1}{10}$x²-$\frac{4}{5}$x+3=$\frac{1}{10}$（x-4）²+$\frac{7}{5}$，
∴绳子最低点离地面的距离为：$\frac{7}{5}$m；

（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F₁的顶点坐标为：（2，1.8），
设F₁的解析式为：y=a（x-2）²+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F₁为：y=0.3（x-2）²+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F₂的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F₂的横坐标为：$\frac{1}{2}$（8-m）+m=$\frac{1}{2}$m+4，
∴抛物线F₂的顶点坐标为：（$\frac{1}{2}$m+4，k），
∴抛物线F₂的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$m-4）²+k，
把C（8，3）代入得：$\frac{1}{4}$（8-$\frac{1}{2}$m-4）²+k=3，
解得：k=-$\frac{1}{4}$（4-$\frac{1}{2}$m）²+3，
∴k=-$\frac{1}{16}$（m-8）²+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，-$\frac{1}{16}$（m-8）²+3=2，
解得：m₁=4，m₂=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，-$\frac{1}{16}$（m-8）²+3=2.5，
解得：m₁=8-2$\sqrt{2}$，m₂=8+2$\sqrt{2}$（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8-2$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．