Question

10．如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，下列结论中错误的是（　　）

• A． DM=DN
• B． ∠ABD+∠ACD=180°
• C． AC+AN=AB
• D． BC²+4DE²=4BM²+4DM²

Answer 1

分析 根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明△DMB≌△DNC，即可得出DM=DN，根据四边形的内角和得到∠ABD+∠ACD=180°；根据勾股定理得到BC²+4DE²=4BM²+4DM²；由于AC不一定等于BM，得到AC+AN不一定等于AB，于是得到结论．

解答 证明：连接BD，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴DM=DN，故A正确；∠BDM=∠CDN，
∴∠MDN=∠CDB，
∵∠BAC+∠MDN=360°-∠AMD-∠AND=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°；故B正确；
∵DE垂直平分线BC，
∴DE⊥BC，BC=2BE=2CE，
∴BC²+4DE²=（2BE）²+4DE²=4BE²+4DE²=4（BE²+DE²），
∵BD²=BM²+DM²=DE²+BE²，
∴BC²+4DE²=4BM²+4DM²；故C正确；
∵AM=AN，但AC不一定等于BM，
∴AC+AN不一定等于AB，故C错误，
故选C．

点评 本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．