Question

11．如图，在?ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F．
（1）求$\frac{AF}{CF}$的值；
（2）若S_△AEF=9，求S_△BFC的值；
（3）过D作BE的平行线交AC于G，交BC于M，若AC=12，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出BC=AD=2AE，根据相似三角形的判定得出△AFE∽△CFB即可；
（2）根据相似三角形的性质得出即可；
（3）根据平行线等分线段定理得出AF=FG=CG，即可求出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴BC=AD=2AE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵△AFE∽△CFB，$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{BFC}}$=（$\frac{AF}{CF}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△AEF=9，
∴S_△BFC=4×9=36；


（3）∵E为AD中点，DM∥BE，
∴AF=GF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DM∥BE，
∴四边形DEBM是平行四边形，
∴BM=DE，
∵E为AD中点，AD=BC，
∴BC=AD=2DE=2AE，
∴MB=CM，
∵DM∥BE，
∴CG=FG，
∴AF=FG=CG，
∵AC=12，
∴FG=4．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．