Question

1．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），…都是“梦之点”．
（1）若点P（2，m）是“梦之点”，则点P关于原点的对称点是（-2，-2）；
（2）已知关于t的方程at²+（b-1）t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”，则“梦之点”是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）和（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再根据中心对称的性质求得即可；
（2）函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=ax²+bx+1，整理得ax²+（b-1）x+1=0，再根据关于t的方程at²+（b-1）t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，得出x₁=$\sqrt{3}$，x₂=$\frac{1}{3}$，即可求得“梦之点”．

解答 解：（1）点P（2，m）是“梦之点”，
∴m=2，
∴P（2，2），
∴点P关于原点的对称点（-2，-2），
故答案为（-2，-2）．
（2）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”，
∴令y=x，
则x=ax²+bx+1，
整理得，ax²+（b-1）x+1=0，
∵关于t的方程at²+（b-1）t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，
∴x₁=$\sqrt{3}$，x₂=$\frac{1}{3}$；
∴“梦之点”是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）和（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）和（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了中心对称的性质，“梦之点”的概念，横坐标与纵坐标相等是解题的关键．