如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6cm.BC=8cm.D.E分别是AC.AB的中点.连接DE．点P从点D出发.沿DE方向匀速运动.速度为1cm/s,同时.点Q从点B出发.沿BA方向匀速运动.速度为2cm/s.当点P停止运动时.点Q也停止运动．连接PQ.设运动时间为t．根据上面的信息.解答下面的问题:(1)当t为何值时.PQ⊥AB?(2)当点Q在BE之间运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数表达式．
（3）t为何值时，△EPQ为等腰三角形

分析（1）如图1所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；
（2）本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积-△PQE的面积”，如图2所示．为求△PQE的面积，需要求出QE边上的高，因此过P点作QE边上的高，利用相似关系（△PME∽△ABC）求出高的表达式，从而问题解决；
（3）分三种情形讨论，如图3中，当点Q在线段BE上时，EP=EQ；如图4中，当点Q在线段AE上时，EQ=EP；如图5中，当点Q在线段AE上时，EQ=QP；如图6中，当点Q在线段AE上时，PQ=EP．分别列出方程即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=$\frac{1}{2}$BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠B，
∴△PQE∽△ACB，
$\frac{PE}{AB}$=$\frac{QE}{BC}$，由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即 $\frac{4-t}{10}$=$\frac{2t-5}{8}$，
解得t=$\frac{41}{14}$；

（2）如图2中，

过点P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得 $\frac{PM}{AC}$=$\frac{PE}{AB}$，
∴$\frac{PM}{6}$=$\frac{4-t}{10}$，得PM=$\frac{3}{5}$（4-t）．
S_△PQE=$\frac{1}{2}$EQ•PM=$\frac{1}{2}$（5-2t）•$\frac{3}{5}$（4-t）=$\frac{3}{5}$t²-$\frac{39}{40}$t+6，
S_梯形DCBE=$\frac{1}{2}$×（4+8）×3=18，
∴y=18-（ $\frac{3}{5}$t²-$\frac{39}{40}$t+6）=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{39}{40}$t+12 （0＜t＜2.5）．

（3）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP=EQ，可得4-t=5-2t，t=1．
如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ=EP，可得4-t=2t-5，解得t=3．
如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ=QP，可得$\frac{1}{2}$（4-t）：（2t-5）=4：5，解得t=$\frac{20}{7}$．
如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ=EP，可得$\frac{1}{2}$（2t-5）：（4-t）=4：5，解得t=$\frac{19}{6}$．
综上所述，t=1或3或$\frac{20}{7}$或$\frac{19}{6}$秒时，△PQE是等腰三角形．