题目内容

如图，一次函数y=-
3
x+
3
的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；
（1）如果点P（m，
3
2
）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；
（3）是否存在实数a，b使一次函数y=-
3
x+
3
和y=ax+b的图象关于直线y=x对称？若存在，求出
ab
a+b
的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）过点P作PD⊥x轴于D，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，从而求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，然后求出∠ABO=30°，再根据S四边形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB-S△PDO列式整理即可得解；根据S△APB=S四边形AOPB-S△AOP表示出△APB的面积，再解直角三角形求出AC，然后求出△ABC的面积，列出方程求解即可；
（2）分①点A是顶角顶点，AB是腰时，求出OQ的长度，②点B是顶角顶点，AB时腰时，求出OQ的长度，然后写出点Q的坐标，③AB是底边时，分点Q在y轴上和点Q在x轴上两种情况，利用等边三角形的性质求解；
（3）求出A、B两点关于直线y=x的对称点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥x轴于D，
∵点P（m，
3
2
）在第二象限内，
∴PD=
3
2
，OD=-m，
令y=0，则-
3
x+
3
=0，
解得x=1，
令x=0，则y=
3
，
∴点A（1，0），B（0，
3
），
∴OA=1，OB=
3
，
由勾股定理得，AB=
OA2+OB2
=
12+
3
2
=2，
∴∠ABO=30°，
S四边形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB-S△PDO，
=
1
2
×（
3
2
+
3
）（-m）+
1
2
×1×
3
-
1
2
×（-m）×
3
2
，
=-
3
2
m+
3
2
，
∴四边形AOPB的面积=-
3
2
m+
3
2
；
S△APB=S四边形AOPB-S△AOP，
=-
3
2
m+
3
2
-
1
2
×1×
3
2
，
=-
3
2
m+
3
4
，
∵∠ABC=30°，
∴AC=AB•tan30°=2×
3
3
=
2
3
3
，
∴S△ABC=
1
2
×2×
2
3
3
=
2
3
3
，
∵△APB与△ABC面积相等，
∴-
3
2
m+
3
4
=
2
3
3
，
解得m=-
5
6
，
故，当△APB与△ABC面积相等时，m=-
5
6
；

（2）①点A是顶角顶点，AB是腰时，AQ=AB=2，
若点Q在x正半轴，则OQ=AO+AQ=1+2=3，
若点Q在x轴负半轴，则OQ=AQ-AO=2-1=1，
若点Q在y轴负半轴，则OQ=BO=
3
，
∴点Q的坐标为（3，0）或（-1，0）或（0，-
3
），
②点B是顶角顶点，AB时腰时，BQ=AB=2，
若点Q在y轴正半轴，则OQ=BO+BQ=
3
+2，
若点Q在y轴负半轴，则OQ=BQ-BO=2-
3
，
若点Q在x轴负半轴，则OQ=AO=1，
∴点Q的坐标为（0，
3
+2）或（0，
3
-2）或（-1，0）；
③AB是底边时，若点Q在y轴上，则OQ=OA•tan30°=1×
3
3
=
3
3
，
若点Q在x轴上，则OQ=AO=1，
∴点Q的坐标为（0，
3
3
）或（-1，0），
综上所述，△QAB是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为（3，0）或（-1，0）或（0，-
3
）或（0，
3
+2）或（0，
3
-2）或（0，
3
3
）；

（3）∵A（1，0）关于y=x的对称点为（0，1），
B（0，
3
）关于y=x的对称点为（
3
，0），
∴
b=1
3
a+b=0
，
解得
a=-
3
3
b=1
，
∴
ab
a+b
=
-
3
3
×1
-
3
3
+1
=
-
3
3-
3
，
=
-
3
(3+
3
)
(3-
3
)(3+
3
)
，
=
-3
3
-3
6
，
=-
3
+1
2
．
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点坐标的求解，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次根式的化简，难点在于（2）根据三角形的腰长的不同分情况讨论，（3）点A、B关于直线y=x的对称点的求解．
练习册系列答案
相关题目
在同一坐标系中，函数y=
k
x
和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、
（1）在一次考试中，李老师从所教两个班全体参加考试的80名学生中随机抽取了20名学生的答题卷进行统计分析．其中某个单项选择题答题情况如下表（没有多选和不选）：
①根据表格补全扇形统计图（要标注角度和对应选项字母，所画扇形大致符合即可）；
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 选项  A  B  C  D
 选择人数  4  2  1  13
（2）将分别写有数字4、2、1、13的四张形状质地相同的卡片放入袋中，随机抽取一张，记下数字放回袋中，第二次再随机抽取一张，记下数字：
①请用列表或画树状图方法（用其中一种），求出两次抽出卡片上的数字有多少种等可能结果；
②设第一次抽得的数字为x，第二次抽得的数字为y，并以此确定点P（x，y），求点P落在双曲线y=
4
x
上的概率．
阅读下面的解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
解：因为a+b=8，ab=15，
所以（a+b）2=a2+2ab+b2=64．
所以a2+b2=34．
所以（a-b）2=a2-2ab+b2=34-2×15=4．
又因为a＞b，所以a-b＞0，所以a-b=
4
=2．
请仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数x满足x+
1
x
=
8
，且x＞
1
x
，求x-
1
x
的值．
分解因式：x3y-2x2y2+xy3．
一次函数y=kx+b与反比例函数y=
m
x
的图象交于A（1，4），B（-2，n）两点，
（1）求m的值；
（2）求k和b的值；
（3）结合图象直接写出不等式
m
x
-kx-b＞0的解集．
先化简：
x2
x+1
-
1
x+1
；然后再-1，0，1三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
计算：（
1
2
）-3÷
(-2)2
-
27
sin60°÷（π-10）0．
如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，分别以AB、AC为边向三角形外作两个正方形，如图所示，其中两个正方形的面积是6和3，则斜边BC=
 
．

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