Question

9．在梯形ABCD中，AD∥BC，又$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，点M在边AB，且使$\frac{AM}{MB}$=$\frac{2}{3}$，点N在边CD上，使线段MN把梯形分成面积比为3：1的两部分，求$\frac{CN}{ND}$的值．

Answer 1

分析 作出辅助线连结MC，MD，过M作梯形的高GH，分两种情况：①当S_{四边形AMND}：S_{四边形BCNM}=1：3时，②当S_{四边形AMND}：S_{四边形BCNM}=3：1时分别求解即可．

解答 解：如图，连结MC，MD，过M作梯形的高GH，分别交AD的延长线，BC于点G，H．

设AD=x，则BC=2x，设GH=5h，则MH=3h，MG=2h
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（x+2x）×5h=7.5xh
S_△AMD=$\frac{1}{2}$AD×MG=$\frac{1}{2}$x•2h=xh，
S_△MBC=$\frac{1}{2}$BC×MH=$\frac{1}{2}$×2x•3h=3xh，
①当S_{四边形AMND}：S_{四边形BCNM}=1：3时，
∵S_△AMD：S_△MBC=xh：3xh=1：3，
∴S_△MDN：S_△MCN=1：3，
∵S_△MDN和S_△MCN高相等，
∴$\frac{DN}{CN}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CN}{ND}$=3；
②当S_{四边形AMND}：S_{四边形BCNM}=3：1时，
∴S_{四边形AMND}=7.5xh×$\frac{3}{4}$=$\frac{45xh}{8}$，
S_{四边形BCNM}=7.5xh×$\frac{1}{4}$=$\frac{15xh}{8}$＜S_△MBC，因此不合题意．
综上所述$\frac{CN}{ND}$=3．

点评 本题主要考查了面积与等积变换，涉及相似三角形的判定与性质，等高三角形的面积比等知识，解题的关键是正确作出辅助线．