Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，F是BC边上一点．
（1）在图中画出以AF为对角线的平行四边形ADFE，使D、E分别在AB和AC边上，叙述如何得到D、E点即可（不需要用尺规作图）
（2）如果AF正好平分∠BAC，判断此时四边形ADFE的形状，并说明理由；
（3）求出（2）中四边形ADFE的周长．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角尺作FD∥AC交AB于点D，作FE∥AB交AC于点E进而求出即可；
（2）利用角平分线的性质结合菱形的判定方法得出即可；
（3）利用勾股定理得出FC的长，进而求出AE的长，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，分别过点F作FD∥AC交AB于点D，
作FE∥AB交AC于点E；

（2）如果AF正好平分∠BAC，则四边形ADFE为菱形，
理由：∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF∥AC，
∴∠DFA=∠EAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF，
又∵四边形ADFE为平行四边形，
∴四边形ADFE为菱形；

（3）过点F作FG⊥AB于点G，
则AG=AC=6，FG=FC，
∵AC=6，AB=10，
∴AG=6，
∴BC=8，BG=4，
设FG=FC=x，则BF=8-x，
由BG²+FG²=BF²，
可得：4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，即FC=3，
又设AE=EF=y，则EC=6-y，
由CE²+CF²=EF²，
可得（6-y）²+3²=y²，
解得；y=$\frac{15}{4}$，
则菱形ADFE的周长为：4y=4×$\frac{15}{4}$=15．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及角平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练应用勾股定理得出AE的长是解题关键．