Question

9．阅读下面内容：“如图1，以三角形ABC三个顶点为圆心，以1为半径的三个圆（两两不相交）与三角形相交，则图中阴影部分的面积之和是多少？”我们可以用如下方法解决这个问题：设以 A、B、C 为圆心的三个扇形的圆心角的度数分别是 n₁、n₂、n₃，面积分别是S₁、S₂、S₃，由扇形面积公式$s=\frac{{nπ{r^2}}}{360}$可知：
S阴影部分=S₁+S₂+S₃，
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°  即：n₁+n₂+n₃=180   
∴S阴影部分=S₁+S₂+S₃

根据以上推理过程，回答下列问题：
（1）以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径的五个圆（两两不相交，如图2）与五边形相交，则图中阴影部分的面积之和是多少？请说明理由．
（2）试猜想，以n边形的n个顶点为圆心，以1为半径的n个圆（两两不相交）与n边形相交，则其公共部分的面积（即阴影部分的面积之和）S=$\frac{n-2}{2}$π．

Answer 1

分析 （1）圆心角之和等于五边形的内角和（5-2）×180°=540°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$计算即可；
（2）圆心角之和等于n边形的内角和（n-2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$计算即可．

解答 解：（1）五边形ABCDE的内角和（5-2）×180°=540°，
阴影部分的面积之和是$\frac{540×π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{3}{2}$π；
（2）n边形的内角和（n-2）×180°，
阴影部分的面积之和S=$\frac{180（n-2）π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{n-2}{2}$π．

点评 此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．