Question

11．已知二次函数y=x²-2mx+m-1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有2个公共点；
（2）如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A的坐标及顶点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明抛物线与x轴有两个交点，只要证明：b²-4ac恒大于即可；
（2）根据抛物线经过原点，求出抛物线的解析式；将抛物线的解析式写出顶点式，即可求出顶点坐标；
（3）根据线段之和最短的知识，过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′C，根据待定系数法求出直线A′C的解析式即可求得点P的坐标．

解答 （1）证明：∵b²-4ac=（-2m）²-4（m-1）=4m²-4m+4=（2m-1）²+3＞0
∴不论m为何值，该函数的图象x轴有2个公共点；
（2）解：∵y=x²-2mx+m-1，O（0，0），
∴0=m-1，解得：m=1，
∴y=x²-2x，
当y=0时，x²-2x=0，解得：x₁=0，x2=2，
∴A（2，0），
∵y=x²-2x，即y=（x-1）²-1，
∴C（1，-1）；
（3）解：如图所示：作A（2，0）关于y轴的对称点A’（-2，0），
设直线A’C：y=kx+b，A’（-2，0），C（1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-1=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴$y=-\frac{1}{3}{x}-\frac{2}{3}$，
当x=0时，$y=-\frac{2}{3}$，
∴P（0，$-\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点、抛物线的顶点、线段之和的最短问题的综合题．在第（3）小题中，能够根据线段最短的知识，作出线段何时最短是解决此题的关键．