Question

勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的Rt△纸片，给出如下的一种摆法（C，E，D在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得a²+b²=c²．请你试着添一条线，并给出证明．

Answer 1

分析：连接AN，四边形ACDN的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．

解答：解：连接AN，依题意，图中的四边形ACDN为直角梯形，△ENA为等腰直角三角形，

Rt△AEC和Rt△NED的形状和大小完全一样
设梯形ACDN的面积为S，则S=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab，
又∵S=S_Rt△ENA+2S_Rt△ACE=

1

2

c²+2×

1

2

ab=

1

2

c²+ab，
∴

1

2

（a²+b²）+ab=

1

2

c²+ab．
因此，a²+b²=c²．

点评：本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．