Question

13．如图所示，直线l₁ 经过A，B两点，直线l₂的表达式为y=-2x+2，且与x轴交于点D，两直线相交于点C．
（1）求直线l₁的表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₁上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l₁的表达式为y=kx+b，将A（4，0），B（3，-1）代入得k，b，可得一次函数的解析式；
（2）令y=0，代入直线l₂的表达式为y=-2x+2，可得D点坐标，根据两直线相交可得C点坐标，由三角形的面积公式可得结果；
（3）根据△ADP与△ADC的面积相等可得点P的纵坐标，在代入直线l₁的表达式可得点P的横坐标，可得点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l₁的表达式为y=kx+b，将A（4，0），B（3，-1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ 3k+b=-1\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-4\end{array}\right.$
∴直线l₁的表达式为y=x-4；

（2）当y=0时，-2x+2=0
∴x=1
∴D（1，0）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\ y=-2x+2\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}\right.$
∴C（2，-2）
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×（4-1）×2=3$

（3）∵△ADP与△ADC的面积相等，
∴设P点的纵坐标为y_P，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$×（4-1）×|y_P|=3，
解得y_P=±2，
∵C点纵坐标为-2，
∴P点纵坐标为2，
∴2=x-4
∴x=6，
∴P点的坐标为（6，2）．

点评 此题主要考查了一次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据已知结合图形得出点P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等是解题关键．