Question

已知关于x的一元二次方程m²x²+2（m-1）x+1=0有实数根．
（1）求实数m的范围；
（2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m²≠0，且△≥0，即[2（m-1）]²-4m²≥0，解不等式组即可得到m≤

1

2

且m≠0；
（2）由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在（1）中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程m²x²+2（m-1）x+1=0有实数根，
∴m²≠0，且△≥0，即[2（m-1）]²-4m²≥0，4m²-8m+4-4m²≥0，
∴m≤

1

2

且m≠0；

（2）如果方程的两根互为相反数，那么-

2(m-1)

m2

=0，
解得m=1，
∵m≤

1

2

且m≠0时，方程有实数根，而1＞

1

2

，
∴该方程的两根不能互为相反数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及根与系数的关系．