Question

如图，直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，tanA=

4

3

，若菱形ABCD向右平移5个单位后，点D也恰好落在此双曲线上，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：延长DD′交y轴于E，延长AD交x轴于F，根据菱形的性质得OD=AD，∠A=∠BCD，由菱形ABCD向右平移5个单位得DE⊥y轴，根据正切的定义得到tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
可设ED=4a，则OE=3a，根据勾故定理计算出CD=5a，可得到A点坐标为（4a，8a），D′的坐标为（4a+5，3a），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到4a•8a=3a（4a+5），解得a=

3

4

（a=0舍去），则可确定A点坐标，然后把A点坐标代入反比例解析式可求得k的值．

解答：解：延长DD′交y轴于E，延长AD交x轴于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OD=AD，∠A=∠BCD，
∵菱形ABCD向右平移5个单位，
∴DE⊥y轴，
在Rt△CDE中，tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
设ED=4a，则OE=3a，
∴CD=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∴AD=5a，DF=3a，
∴A点坐标为（4a，8a），
∴D′的坐标为（4a+5，3a），
∵点A和点D′在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴4a•8a=3a（4a+5），
∴a=

3

4

（a=0舍去），
∴A点坐标为（3，6），
把A（3，6）代入y=

k

x

得k=3×6=18．
故答案为18．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足其解析式；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义；利用勾股定理进行几何计算．