如图.已知抛物线y=m与x轴从左至右依次交于A.B两点.与y轴交于点C.且OA=OC.经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若∠DBA=30°.设F为线段BD上一点.连接AF.一动点M从点A出发.沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F.再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时.点M在整个运动过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，已知抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．

（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

分析（1）首先求出点A、B坐标，然后根据OA=OC，求得点D坐标，代入抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0），求得抛物线解析式；
（2）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如答图3，作辅助线，将AF+$\frac{1}{2}$DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

解答解：
（1）抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，
令y=0，解得x=-1或x=2，
则A（-1，0），B（2，0），
∵OA=OC，
∴C（0，-1），
∵点C（0，-1）在抛物线y=m（x+1）（x-2）上，
∴m×（0+1）×（0-2）=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的函数表达式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2）；
（2）∵∠DBA=30°，
∴设直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2+b，解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
联立两解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\end{array}\right.$．
则D（-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$），
如图，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK∥x轴，
则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=$\frac{1}{2}$DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+$\frac{1}{2}$DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t_最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
∵A点横坐标为-1，直线BD解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-1）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴F（-1，$\sqrt{3}$）．
综上所述，当点F坐标为（-1，$\sqrt{3}$）时，点M在整个运动过程中用时最少．