Question

19．如图所示，已知△ABC是锐角三角形，以边AC、BC为斜边向形外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，以边AB为直角边向形外作等腰直角三角形ABF，∠BAF=90°，点G为BF的中点，连接GD和AE，试探究GD和AE的数量关系和位置关系，并对你的结论加以证明．

Answer 1

分析 结论：DG=AE，DG⊥AE．如图，连接FC，分别取CF、BC、BF、AC的中点M、N、G、F，连接GM、MF、DM、EN、AN、FN、DF，右侧MF到H交BC于K，延长EN交DG于O，交GM于J，延长EA交DG于I．只要证明△AFN≌△DFM，△ANE≌DMG，即可解决问题．

解答 解：结论：DG=AE，DG⊥AE．理由如下：
如图，连接FC，分别取CF、BC、BF、AC的中点M、N、G、P，连接GM、MP、DM、EN、AN、PN、DP，延长MP到H交BC于K，延长EN交DG于O，交GM于J，延长EA交DG于I．
由三角形中位线定理可知：PM=$\frac{1}{2}$AF，PN=$\frac{1}{2}$AB，PM∥AF，PN∥AB，
∵AF=AB，
∴PN=PM，
∵∠FAB=90°，
∴∠MPN=90°，
∵DP=AP，∠MPN=∠APD=90°，
∴∠APN=∠MPD，
∴△APN≌△DPM，
∴AN=DM，∠DMP=∠ANP，易证GM=EN，
∵∠GMD=∠GMH+∠DMP=∠NKH+∠ANP=∠PNK+90°+∠ANP=∠PNE+∠ANP=∠ANE，
∴△ANE≌DMG，
∴DG=AE，∠AEN=∠MGD，
∵GM∥BC，EJ⊥BC，
∴EJ⊥GM，
∴∠JGO+∠JOG=90°，
∵∠JOG=∠EOI，
∴∠EOI+∠OEI=90°，
∴∠EIG=90°，
∴DG⊥AE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质．三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，辅助线比较多．