Question

5．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2016个等腰直角三角形的面积为2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 分别写出几个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第2016个等腰三角形的直角边的长，从而求得直角三角形的面积即可．

解答 解：第①个直角三角形的边长为1=（$\sqrt{2}$）⁰，
第②个直角三角形的边长为$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）¹，
第③个直角三角形的边长为2=（$\sqrt{2}$）²，
第④个直角三角形的边长为2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，
…
第2016个直角三角形的边长为（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，
面积为：$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=2²⁰¹⁴．
故答案为：2²⁰¹⁴．

点评 此题考查了等腰三角形及图形的变化类问题，要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．