Question

19．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B是x轴上的一个动点，始终保持△ABC是等边三角形（点A、B、C按逆时针排列），当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是（$\sqrt{3}$，1）．随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的解析式是y=$\sqrt{3}$x-2．

Answer 1

分析 如图，过点C′作C′E⊥y轴，C′F⊥x轴于点F，依题意得C′F=1，利用勾股定理求出OF，然后可得点C的坐标；根据等边三角形的性质易求点C移动到y轴上的坐标是（0，-2），所以根据这两个点的坐标易求点C移动所得图象的解析式．

解答 解：如图，过点C′作C′F⊥x轴于点F，
∵△AOC′是等边三角形，OA=2，
∴C′F=1．
在Rt△OC′F中，
由勾股定理，得OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴点C′的坐标为（$\sqrt{3}$，1）．
∵△AOC′与△ABC都是等边三角形，
∴AO=AC′，AB=AC，∠BAC=∠OAC′=60°，
∴∠BAC-∠OAC=∠OAC′-∠OAC，
∴∠BAO=∠CAC′，
在△AOB与△AC′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC′}\\{∠BAO=∠CAC′}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△AC′C（SAS）．
∴∠BOA=∠CC′A=90°，
∴点C在过点C′且与AC垂直的直线上，
∵点A的坐标是（0，2），△ABC是等边三角形，
∴点C移动到y轴上的坐标是（0，-2），
设点C所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点（$\sqrt{3}$，1）和（0，-2）分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以点C移动所得图象的解析式是为：y=$\sqrt{3}$x-2．
故答案为（$\sqrt{3}$，1），y=$\sqrt{3}$x-2．

点评 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，等边三角形的性质等知识．求得点C位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键．