Question

如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．
（1）求证：PF²=EF•FD；
（2）当tan∠APB=

1

2

，tan∠ABE=

1

3

，AP=

2

时，求PF的长；
（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）欲证PF²=EF•FD，可以证明△PFE∽△DFP得出；
（2）求PF的长，根据∠APB的正切，需连接AE，求出AE，PE，BE的长，再根据PC为切线，求出PC的长，通过相似的性质，切线的性质得出PF=FC即可；
（3）判断△ADB是什么三角形，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再求出AD，DB，AB的长，可以得出△ADB为等腰Rt△．

解答：解：（1）∵AB∥PC，
∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．
又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP，
∴PF：EF=DF：PF，PF²=EF•FD．

（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BP．
∵tan∠APB=

1

2

=

AE

PE

，tan∠ABE=

1

3

=

AE

BE

，
令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=

5

a=

2

，
∴a=

10

5

=AE，PE=

2

5

10

，BE=

3 10

5

．
∵PC为切线，
∴PC²=PE•PB=4．
∴PC=2．
∵FC²=FE•FD=PF²∴PF=FC=

PC

2

=1，
∴PF=1．

（3）△ADB为等腰直角三角形．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∵PE•PB=PA•PD，
∴PD=2

2

BD=

BP2-PD2

=

2

=AD．
∴△ADB为等腰Rt△．

点评：乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出，同时综合考查了三角函数，三角形的判断，切线的性质等．