Question

如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）.点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。
（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是______三角形；
（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是_______三角形。

Answer 1

解：（1）等腰直角三角形；
（2）当∠QPA=60°，△QCP是等边三角形，
证明：连接OQ，CQ是⊙O的切线，
∴∠OQC=90°，
∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠QOP，
∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°，
∴∠QCO=∠CQP，
∴PQ=PC，
又∠QPA=60°，
∴△QCP是等边三角形；
（3）等腰三角形。