已知在Rt△ABC中.∠ABC=90°.∠A=30°.点P在AC上.且∠MPN=90°．(1)当点P为线段AC的中点.点M.N分别在线段AB.BC上时.过点P作PE⊥AB于点E.PF⊥BC于点F．证明:△PME∽△PNF.PN=$\sqrt{3}$PM．(2)当PC=$\sqrt{2}$PA.点M.N分别在线段AB.BC或其延长线上.如图2.图3这两种情况时.请分别写出线段PN.PM之间的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．

（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=$\sqrt{3}$PM．
（2）当PC=$\sqrt{2}$PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．

分析（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$=$\frac{AB}{BC}$，然后根据余切函数即可求得．
（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，PE=$\frac{1}{2}$PA，即可求得．

解答解：（1）如图1，作PF⊥BC，
∵∠ABC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴∠EPF=90°
∴P是AC的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$=$\frac{AB}{BC}$，
∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{PN}{PM}$=$\sqrt{3}$，
即PN=$\sqrt{3}$PM；

（2）如图2，PN=$\sqrt{6}$PM，
如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，PE=$\frac{1}{2}$PA，
∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{PF}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}PC}{PA}$，
∵PC=$\sqrt{3}$PA
∴$\frac{PN}{PM}$=$\sqrt{6}$，
即：PN=$\sqrt{6}$PM，
如图3，在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，PE=$\frac{1}{2}$PA，
∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{PF}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}PC}{PA}$，
∵PC=$\sqrt{3}$PA
∴$\frac{PN}{PM}$=$\sqrt{6}$，
即：PN=$\sqrt{6}$PM．