某市新建了圆形文化广场.小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．(1)小杰先找圆心.再量半径．请你在图1中.用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O(不写作法.保留作图痕迹),选取A.B.C三根石柱.量得A.B之间的距离与A.C之间的距离相等.并测得BC长为240米.A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径．(3)请你解决下面的问题:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．
（1）小杰先找圆心，再量半径．请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小浩在广场边（如图2）选取A、B、C三根石柱，量得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．
（3）请你解决下面的问题：如图3，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求出OP的长度范围是多少？

分析（1）作出弦的垂直平分线，再结合垂径定理推论得出圆心位置；
（2）设圆心为O，连结 OA、OB，OA交BC于D，根据A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，得出$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，从而得出BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，再根据勾股定理得出OB²=OD²+BD²，设OB=x，即可求出广场的半径；
（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．

解答解：（1）如图1所示，在圆中作任意2条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这2条垂直平分线必定与圆的2条直径重合，
所以交点O即为所求；

（2）如图2，连结OA、OB，OA交BC于D，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=120（米），
由题意DA=5，
在Rt△BDO中，
OB²=OD²+BD²，
设OB=x，
则x²=（x-5）²+120²，
解得：10x=14425，
x≈1443，
答：广场的半径1443米．

（3）如图3，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB=$\frac{1}{2}$×10=5cm，
∴OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm），
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．