Question

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2$\sqrt{3}$，则阴影部分图形的面积为（　　）

• A． 4π
• B． 2π
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 根据垂径定理求得CE=ED=$\sqrt{3}$；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度；最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED．

解答 解：如图，假设线段CD、AB交于点E．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=$\sqrt{3}$．
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，OC=2OE=2，
∴S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED
=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$OE•EC+$\frac{1}{2}$BE•ED
=$\frac{2}{3}$π-$\frac{1}{2}$OE•EC+$\frac{1}{2}$OE•EC
=$\frac{2}{3}$π，
故选C．

点评 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算．注意解此题的思路是：采用了“分割法”求得阴影部分的面积．