Question

12．如图已知二次函数y=ax²图象的顶点为原点，直线 y=$\frac{1}{2}$x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（图1）；
（3）在（2）的条件下，连接BD，当动点p在线段AB上移动时，点D也在抛物线上移动，线段BD也绕点B转动，当BD∥x轴时（图2），请求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意设P（t，$\frac{1}{2}$t+4），则D（t，$\frac{1}{8}$t²），根据h=PD=P_y-D_y，即可解决问题．
（3）根据BD∥x轴，B（0，4），推出点D的纵坐标为4，当y=4时，4=$\frac{1}{8}$x²，推出x=±4$\sqrt{2}$，推出点D的横坐标为4$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）把A（8，8）代入y=ax²，得a=$\frac{1}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²，
对于直线y=$\frac{1}{2}$x+4，令x=0，得y=4，
∴B（0，4）．

（2）由题意设P（t，$\frac{1}{2}$t+4），则D（t，$\frac{1}{8}$t²），
∴h=PD=（$\frac{1}{2}$t+4）-$\frac{1}{8}$t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）．

（3）∵当BD∥x轴，B（0，4），
∴点D的纵坐标为4，
当y=4时，4=$\frac{1}{8}$x²，
∴x=±4$\sqrt{2}$，
∵点P在线段AB上运动，
∴x=4$\sqrt{2}$，
当x=4$\sqrt{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$+4=2$\sqrt{2}$+4，
∴点P的坐标为（4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$+4）．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是由BD∥x轴，得出点D的坐标，属于中考常考题型．