Question

3．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，BC∥OA，直角梯形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标是（2，6），AB=AO，点E从点B出发沿射线CB方向运动，点F从点O出发沿线段OC向终点C运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求A点坐标；
（2）如图，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转45°，得到线段FK，过点E作EM⊥FK，垂足为M，设M（x，y），连接MO，求MO的长；
（3）在（2）的条件下，点H是x轴上的一个动点，在x轴的上方的平面内是否存在另一个在直线AB上的点G，使以B、M、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建矩形CODB，根据点B（2，6）得：OD=BC=2，BD=CO=6，设AB=x，根据勾股定理列方程求出x的值，写出点A的坐标；
（2）作辅助线，构建全等三角形：△FPM≌△MQE和直角△OPM，先证明△FPM≌△MQE，根据动点的时间和速度表示线段的长，设M（x，y），列方程组求出x和y，利用勾股定理求OM的长；
（3）如图3，如图3，先求AB的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$，根据四边形BMHG是平行四边形，则MH∥AB，
两直线平行时的k相等，设MH的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+b，根据M（4，2）求出MH的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+5，得到H的坐标，由平移规律得出结论．

解答 解：（1）如图1，过B作BD⊥OA于D，则∠ODB=90°，
∵BC∥OA，
∴∠BCO+∠AOC=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠AOC=∠ODB=90°，
∴四边形CODB是矩形，
∵B（2，6），
∴OD=BC=2，BD=CO=6，
设AB=x，则AO=x，
∴AD=x-2，
由勾股定理得：（x-2）²+6²=x²，
解得：x=10，
∴AO=AB=10，
∴A（10，0）；

（2）如图2，过M作MP⊥y轴于点P，过E作EQ⊥PM交PM延长线于点Q，
∴∠PFM+∠PMF=90°，
∵EM⊥FM，
∴∠EMF=90°，
∴∠EMQ+∠PMF=90°，
∴∠PFM=∠EMQ，
∵∠EFM=45°
∴△EFM是等腰直角三角形
∴FM=ME，
∵∠FPM=∠EQM=90°，
∴△FPM≌△MQE，
∴PF=MQ，PM=EQ，
由题意得：OF=BE=t，
∵M（x，y），
∴P（0，y），F（0，t），E（2+t，6），Q（2+t，y），
∴PF=t-y，MQ=2+t-x，
∴PM=x，EQ=6-y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t-y=2+t-x}\\{6-y=x}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴M（4，2），
∴OM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（3）如图3，设AB的解析式为：y=kx+b
把A（10，0），B（2，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴AB的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$，
①当BM为边时，如图3，
∵四边形BMHG是平行四边形，
∴MH∥AB，
设MH的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+b，
把M（4，2）代入得：2=-$\frac{3}{4}$×4+b，
b=5，
∴MH的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+5，
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+5=0，
x=$\frac{20}{3}$，
∴H（$\frac{20}{3}$，0），
根据B与M的平移规律、G与H的平移规律相同得：G（$\frac{14}{3}$，4）；
②当BM为对角线时，如图4，根据B与G的平移规律与B与G′的平移规律相同，
得：B（2，6），G（$\frac{14}{3}$，4）；
∴G′（-$\frac{2}{3}$，8），
综上所述，G的坐标为：（$\frac{14}{3}$，4）或（-$\frac{2}{3}$，8）．

点评 本题是四边形的综合题，考查了直角梯形的定义、矩形和平行四边形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理、平移规律等知识，第2问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键，第三问与一次函数相结合，利用解析式和方程组解决问题，明确两直线平行时，一次项的系数k相等．