Question

16．如图，已知正方形ABCD的边长是5，点E在DC上，将△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）指出旋转的中心和旋转角度；
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由；
（3）△ABF向右平移后与△DCH位置，平移的距离是多少？
（4）试猜想线段AE和DH的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的定义，直接得出旋转的中心和旋转的角度；
（2）由（1）得到△ADE绕着点A逆时针旋转90°后与△ABF重合，根据旋转的性质得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判断△AEF是等腰直角三角形；
（3）利用旋转中心为正方形对角线的交点，逆时针旋转90°（或逆时针旋转270°），即可得出平移距离等于正方形边长；
（4）根据平移的性质得AF∥DH，由（2）得AF⊥AE，所以AE⊥DH，进而得出AE=DH．

解答 解：（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°；

（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由如下：
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴∠FAE=∠BAD=90°，AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（3）∵正方形ABCD的边长是5，
∴△ABF向右平移后与△DCH位置，平移的距离是5；

（4）AE=DH，AE⊥DH，
理由：∵△ABF向右平移后与△DCH重合，
∴DH∥AF，DH=AF，
又∵△ADE绕着点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴∠FAE=∠BAD=90°，AF=AE，
∴AE⊥AF，
∴AE=DH，AE⊥DH．

点评 本题考查了四边形综合以及正方形的性质、等腰直角三角形的判定和平移的性质、旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．