Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE
（1）求证：BC=CE；
（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形ABCD得出AD=BC，AD∥BC，进一步证得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，证得结论；
（2）连接FM、BF，证得四边形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中点，利用勾股定理求得AN，进一步得出NE，进一步利用勾股定理求得DE的长即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠FEC，∠ADF=∠ECF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠FEC}&{\;}\\{∠ADF=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AD=CE，
∴BC=CE．

（2）解：如图，连接FM，
∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，
∴AD=DF=AM，
∴四边形AMFD是菱形，
∴AM=AD=AD=BC=2，AF⊥DM，DN=MN=$\frac{1}{2}$DM，AN=FN，∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM=AD=2，
∴DN=1，
∴FN=DN=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$，
∵AD=CE，AD∥CE，
∴EF：AF=CE：AD=1：1，
∴EF=AF=2$\sqrt{3}$，
∴EN=FN+EF=3$\sqrt{3}$，
在Rt△DEN中，DE=$\sqrt{E{N}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{27+1}$=2$\sqrt{7}$．

点评 此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理的运用，正确分析条件与所求问题之间的联系，理清思路解决问题．