题目内容
5．
如图，将抛物线M1：y1=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y2，记为M2，直线y=x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．
（1）①求a的值和M2的表达式；②求点B的坐标；
（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．
①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；
②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，请你直接写出n的取值范围．
（3）将抛物线M1重新适当平移，使平移后的抛物线M3的顶点为P（0，k）．过点B作BH⊥x轴于H，若抛物线M3与△OBH的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．
分析 （1）①将点A横坐标代入y=x，即可得出点A纵坐标，从而得出点A的坐标，根据点A在抛物线M1：y=ax2+4x上，代入即可得出a的值，将抛物线M1化为顶点式，根据平移的原则即可得出抛物线M2；
②将y=x代入M2的表达式，即可点B的坐标；
（2）①把点C横坐标代入y=x，即可得出点C坐标，从而得出点F坐标，把点F代入y=x+n即可得出n的值；
②根据直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，直接可得出n的取值范围；
（3）抛物线M3与△OBH的边界总有两个公共点，即抛物线与线段OB有2个交点时，k的取值范围．
解答 解：（1）①∵点A在直线y=x，且点A的横坐标是-3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，-3）代入y=ax2+4x，
解得a=1．
∴M1：y=x2+4x，顶点为（-2，-4）．
∴M2的顶点为（1，-1），
∴M2的表达式为y=x2-2x；
②将y=x代入y=x2-2x，得x=x2-2x，
解得x1=3，x2=0（舍去），
∴点B的坐标为（3，3）；
（2）①由题意，C（2，2），
∴F（4，2）．
∵直线y=x+n经过点F，
∴2=4+n，
解得n=-2；
②由题意得：n的取值范围是n＞3，n＜-6；
（3）由题意，抛物线M3的解析式为y=x2+k．
当抛物线经过点H（3，0）时，32+k=0，
解得k=-9．
∵O（0，0），B（3，3），
∴直线OB的解析式为y=x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+k}\end{array}\right.$，
得x2-x+k=0，①
当△=（-1）2-4×1×k=0，即k=$\frac{1}{4}$时，抛物线M3与直线OB只有一个公共点，
此时方程①化为x2-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得x=$\frac{1}{2}$，
即公共点的横坐标为$\frac{1}{2}$，此时公共点在线段OB上．
∴k的取值范围是-9＜k＜$\frac{1}{4}$．
点评 本题是二次函数的综合题，涉及的知识点：用待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两函数交点坐标的求法，二次函数图象与几何变换，利用方程思想与数形结合是解题的关键．
| A． | 锐角 | B． | 直角 | C． | 钝角 | D． | 无法确定 |
| A． | 二个交点 | B． | 一个交点 | C． | 无交点 | D． | 不能确定 |