Question

12．已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形？
（2）求AE和折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质和勾股定理分别求出四边形AECF的各边长，根据菱形的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理计算即可．

解答 解：（ 1）四边形AECF是菱形．
设AF=x，则BF=9-x，
由折叠的性质可知，CF=AF=9-x，
由勾股定理得，CF²=BF²+BC²，即x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5，
同理AE=5，
∴AE=EC=AF=CF=5cm，
∴四边形AECF是菱形；
（2）由（1）得AE=5，
作FH⊥CD于H，
则EH=1，FH=3，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、菱形的判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．