Question

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴交于点E，与抛物线y=ax²+bx-3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不用A，B重合），且点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①求sin∠ACP的值；
         ②求线段PD的最大值；
（3）连接PB，线段PC把△PBD分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点，根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行线的性质，可得∠ACP=∠AEO，根据登记爱噢的正弦函数相等，可得答案；
②根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC的长，根据正弦函数，可得答案；
（3）根据等底三角形面积的比等于两三角形高的比，可得$\frac{DG}{BF}$，根据面积的比，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，即A（-2，0），
当y=3时，$\frac{1}{2}$x+1=3，解得x=4，即B点坐标为（4，3）．
将A，B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{（-2）^{2}a-2b-3=0}\\{{4}^{2}a+4b-3=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3；
（2）①当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+1=1，即E（0，1），

∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO，
∴sin∠ACP=sin∠AEO=$\frac{OA}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②由点P的横坐标为m，得
P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-3），C（m，$\frac{1}{2}$m+1），
PC=$\frac{1}{2}$m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-3）=-$\frac{1}{2}$m²+m+4，
在Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（m²-1）²+$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
∵-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，
∴当m=1时，PD有最大值$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；

（3）存在，
分别过点B，D作BF⊥PC，DG⊥PC，垂足分别为F，G如图
，
在Rt△PDG中，DG=$\frac{1}{\sqrt{5}}$PD=-$\frac{1}{5}$（m²-2m-8），BF=4-m，
$\frac{{S}_{△PCD}}{{S}_{△PCD}}$=$\frac{DG}{BF}$=$\frac{-\frac{1}{5}（{m}^{2}-2m-8）}{4-m}$=$\frac{m+2}{5}$，
当$\frac{{S}_{PCD}}{{S}_{△PCB}}$=$\frac{m+2}{5}$=$\frac{9}{10}$时，解得m=$\frac{5}{2}$，
当$\frac{{S}_{△PCD}}{{S}_{△PCB}}$$\frac{m+2}{5}$=$\frac{10}{9}$时，解得m=$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用等角的正且函数相等；解②得关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出PC的长，解（3）的关键是利用等底三角形面积的比等于两三角形高的比得出$\frac{DG}{BF}$，要分类讨论，以防遗漏．