Question

16．关于二次函数y=x²-kx+k-1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=-（x-1）²图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=-$\sqrt{2}$，0，1．其中正确的序号是（　　）

• A． ①②⑤
• B． ②③④
• C． ①④⑤
• D． ②④

Answer 1

分析 令y=x²-kx+k-1=0，求出根的判别式即可判断①；当x=1时，y=0，抛物线总是经过一个定点（1，0），判断②正确；令k=4时，求出AB的长，判断③；求出y=x²-kx+k-1=0顶点坐标，然后代入y=-（x-1）²，进而作出判断；令k=1，得到y=x²-x，此时△ABC不是等腰三角形，据此作出判断．

解答 解：令y=x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4=（k+2）²≥0，
即抛物线交x轴有两个的交点，①错误；
当x=1时，y=1-k+k-1=0，
即抛物线总是经过一个定点（1，0），②正确；
当k=4时，y=x²-4x+3，
令y=x²-4x+3=0，
解得x=3或1，
则AB=3-1=2，③错误；
y=x²-kx+k-1=0顶点坐标为（$\frac{k}{2}$，$\frac{4k-{k}^{2}-4}{4}$），
当x=$\frac{k}{2}$时，y=-（x-1）²=-$\frac{{k}^{2}+4-4k}{4}$，
即抛物线的顶点在y=-（x-1）²图象上，④正确；
当k=1时，y=x²-x，此时△ABC不是等腰三角形，⑤错误；
正确的有②④，
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是掌握二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点问题，此题难度不大．