Question

9．ABCD是正方形，∠MAN=45°，NG∥AD，求证：MN=$\sqrt{2}$PQ；CM=$\sqrt{2}$DQ；CN=$\sqrt{2}$BP；△AQM，△APN为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 先有∠MAN=45°得出∠MAC=∠DAN，结合∠ACM=∠ADQ，得出△AMC∽△AQD，得到比例式判断出CM=$\sqrt{2}$DQ，同理：得出CN=$\sqrt{2}$BP，由$\frac{AQ}{AM}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{DQ}{CM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①
和$\frac{AP}{AN}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{BP}{CN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，得出$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AN}$，从而判断出△APQ∽△ANM即可得出MN=$\sqrt{2}$PQ，再由∠MAQ=∠MBQ=45°，得到点A，B，M，Q四点共圆，即可判断出∠AQM=90°，即得到△AQM为等腰直角三角形．同理得出△APN为等腰直角三角形．

解答 解：

连接AC，
∵AC，BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD=∠BDC=∠ACB=45°，∠ABC=∠ADC=90°，AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$AB，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAC+∠CAN=∠DAN+∠CAN，
∴∠MAC=∠DAN，
∵∠ACM=∠ADQ=45°，
∴△AMC∽△AQD，
∴$\frac{AQ}{AM}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{DQ}{CM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，
∴CM=$\sqrt{2}$DQ，

同理：△APB∽△ANC，
∴$\frac{AP}{AN}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{BP}{CN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
∴CN=$\sqrt{2}$BP，

由①②得，$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AN}$，
∵∠PAQ=∠NAM，
∴△APQ∽△ANM，
∴$\frac{PQ}{MN}=\frac{AQ}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$PQ，

∵∠MAQ=∠MBQ=45°，
∴点A，B，M，Q四点共圆，
∴∠ABM+∠AQM=180°，
∵∠ABM=90°，
∴∠AQM=90°，
∵∠MAQ=45°，
∴△AQM是等腰直角三角形；

∵∠PAN=∠NDP=45°，
∴点A，D，N，P四点共圆，
∴∠APN+∠ADN=180°，
∵∠ADN=90°，
∴∠APN=90°，
∵∠PAN=45°，
∴△APN为等腰直角三角形．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形判定、四点共圆、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是判断出△AMC∽△AQD，判断四点共圆是解本题的难点．