Question

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）易证四边形AEBD是平行四边形，再证明临边DA=DB即可；
（2）连接DE，交AB于点F，分别求出EF，AF的长即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）证明：
∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形．  
又∵四边形OABC是矩形，
∴OB=AC，且互相平分，
∴DA=DB．
∴四边形AEBD是菱形．                
（2）连接DE，交AB于点F．
由（1）四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分于点F．
又∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=$\frac{1}{2}$OA=1.5，AF=$\frac{1}{2}$AB=1．
∴E点坐标为（4.5，1）．

点评 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征，正确做出图形的辅助线是解题的关键．