Question

1．如图1，直线y=$-\frac{1}{2}$x+2交坐标轴于A，B两点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于点C，且S_△AOC=8．
（1）求k的值；
（2）如图2，A，G关于y轴对称，P为双曲线上一点，过P作PD⊥x轴于D，分别交BG，AB于F，E．求证：DE+DF=4；
（3）Q为双曲线上另一动点，连接OQ，过C作CM⊥OQ于M，CN⊥y轴于N，如图3，当Q点运动时，∠OMN是否为定值？猜想并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求出点A、B的坐标，再由三角形COA的面积求出点C纵坐标，代入直线解析式求出点C的横坐标，把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$，即可确定k的值，
（2）先设出点P坐标，再确定出直线AC，BG解析式，进而确定出点D，E，F的坐标，即可得出DE，DF，直接计算即可得出结论；
（3）作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x轴于G；则四边形CGON是正方形，证明C、M、O、N四点共圆，再用同弧所对的圆周角相等，即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{1}{2}$x+2，当y=0时，x=4；当x=0时，y=2；
∴A（4，0），B（0，2），
设C（a，b），
∵S_△COA=$\frac{1}{2}$×4×b=8，
∴b=4，
把C（a，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得：a=-4
∴C（-4，4），
把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：
k=-16，
（2）设P坐标为（m，n），
∵A，G关于y轴对称，且A（4，0），
∴G（-4，0），
∵B（0，2），
∴直线BG解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵过P作PD⊥x轴于D，分别交BG于F，
∴F（m，$\frac{1}{2}$m+2），D（m，0）
∴DF=$\frac{1}{2}$m+2，
∵A（4，0），C（-4，4），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵过P作PD⊥x轴于D，分别交AC于E，
∴E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$m+2，
∴DE+DF=-$\frac{1}{2}$m+2+=$\frac{1}{2}$m+2=4；
（3）当Q点运动时，∠OMN是定值．
理由：如图所示，

作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x轴于G；
则四边形CGON是正方形，∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°，
∴四边形EMFN是矩形，CG=OG=ON=CN=4，∠OCN=∠CON=45°，
∵CM⊥OQ，CN⊥y轴，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∴C、M、O、N四点共圆，
∴∠OMN=∠OCN=45°．
当Q点运动时，∠OMN是定值，定值为45°．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了图形与坐标特征、反比例函数解析式的求法、正方形的判定与性质、四点共圆；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明正方形．