Question

20．如图，二次函数y=ax²-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式ax²-4x+c＞0的解集；
（3）在抛物线上存在点P，满足S_△AOP=8，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）直接利用函数图象得出不等式ax²-4x+c＞0的解集；
（3）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．

解答 解：（1）由已知条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a×{（-4）}^{2}-4×（-4）+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
所以，此二次函数的解析式为：y=-x²-4x；

（2）如图所示：不等式ax²-4x+c＞0的解集为：-4＜x＜0；

（3）∵点A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S_△AOP=$\frac{1}{2}$×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，-x²-4x=4，
解得：x=-2，
所以，点P的坐标为（-2，4），
②当点P在x轴下方时，-x²-4x=-4，
解得x₁=-2+2$\sqrt{2}$，x₂=-2-2$\sqrt{2}$，
所以，点P的坐标为（-2+2$\sqrt{2}$，-4）或（-2-2$\sqrt{2}$，-4），
综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2$\sqrt{2}$，-4）、（-2-2$\sqrt{2}$，-4）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（3）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．