Question

10．直线y=-x+2与X轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB．
（1）求AC的解析式
（2）若在OA的延长线上取一点P（4，0），作PQ⊥BP，交直线AC于Q，请写出BP与PQ的数最关系；并证明你的结论；
（3）若在OA的延长线上任取一点P，作PM⊥AC于M，BP交直线AC于N，判断$\frac{（MQ-AC）}{PM}$的值是否为定值并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）结论：PB=PQ．由△ABG∽△PQG，推出$\frac{BG}{GQ}$=$\frac{AG}{PG}$，推出$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GQ}{PG}$，因为∠BGQ=∠AGP，推出△BGQ∽△AGP，推出∠QBG=∠GAP=45°，由此即可解决问题．
（3）如图2中，$\frac{（MQ-AC）}{PM}$的值是定值，定值为1．作PG⊥PA交PA的延长线于G．首先证明四边形AMPG是正方形，再证明△PMQ≌△PGB，推出MQ=BG，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=-x+2与X轴、y轴交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
∵OC=OB，
∴点C坐标（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x-2．

（2）如图1中，结论：PB=PQ．

理由：连接BQ，AQ与PB交于点G．
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CAB=∠BAQ=90°，
∵PB⊥PQ，
∴∠BAG=∠QPG=90°，
∵∠AGB=∠PGQ，
∴△ABG∽△PQG，
∴$\frac{BG}{GQ}$=$\frac{AG}{PG}$，
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GQ}{PG}$，∵∠BGQ=∠AGP，
∴△BGQ∽△AGP，
∴∠QBG=∠GAP，
∵∠OAC=∠PAG=45°，
∴∠PBQ=∠PAG=45°，∵∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ．

（3）如图2中，$\frac{（MQ-AC）}{PM}$的值是定值，定值为1．
理由：作PG⊥PA交PA的延长线于G．

由（2）可知，∠PAM=∠PAG=45°，
∵PM⊥AQ，PG⊥AG，
∴PM=PG，
∵∠G=∠GAM=∠PMA=90°，
∴四边形AMPG是矩形，
∵PM=PG，
∴四边形AMPG是正方形，
∴AG=PM，
在△PMQ和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠PBG}\\{∠PMQ=∠G}\\{PM=PG}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△PGB，
∴MQ=BG，
∵AB=AC，
∴$\frac{MQ-AC}{PM}$=$\frac{BG-AB}{PM}$=$\frac{AG}{PM}$=1．

点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．