Question

如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有

 

个．
②写出向下平移且经点A的解析式

 

．
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l₂，如图②，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）①根据实际情况可以直接写出结果；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，把（1，-2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，求得△ABC的面积，；
（3）分当点P位于点G的下方和上方两种情况进行讨论求解．

解答：解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，把A（1，-2）代入得：-1+c=-2，
解得：c=-1，
则函数的解析式是：y=-x²-1；

（2）设l₂的解析式是y=-x²+bx+c，
∵l₂经过点A（1，-2）和B（3，-1），
根据题意得：

-2=-1+b+c -1=-9+3b+c

，
解得：

b= 9 2 c=- 11 2

，
则l₂的解析式是：y=-x²+

9

2

x-

11

2

，
则顶点C的坐标是（

9

4

，-

7

16

）．
过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，FE=

3

4

．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

15

16

．

（3）延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，则点G的坐标为（0，-

5

2

），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，PG=-

5

2

-h，连结AP、BP，则S_△APG=S_△BPG-S_△ABP=-

5

2

-h，
又∵S_△ABC=S_△ABP=

15

16

，得h=-

55

16

，点P的坐标为（0，-

55

16

）．
②当点P位于点G的上方时，PG=

5

2

+h，同理得h=-

25

16

，点P的坐标为（0，-

25

16

）．
综上所述所求点P的坐标为（0，-

55

16

）或（0，-

25

16

）．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合题，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键．